Подавляющее большинство методик расчета процесса разработки нефтяных месторождений с учетом непоршневого характера вытеснения нефти водой основаны на теории совместной фильтрации неоднородных жидкостей. То есть можно упрощенно представить, что при фильтрации в пласте каждая фаза имеет свою долю в общем многофазном потоке (рис. 1). Такая абстракция оказалась достаточно удачной и позволила решить множество прикладных задач.

Рис. 1 Схематизация процесса непоршневого вытеснения
Для начала рассмотрим однофазный поток сквозь элемент пористой среды (рис. 2). Из соображения материального баланса можно записать, что, вычитая из входящей массы (
) массу выходящую (
), получим накопленную (или потерянную) в рассматриваемом объеме массу:

Изменение массы флюида, содержащегося в выделенном элементарном объёме за время
, запишем в следующем виде:

Рис. 2 Схематизация элемента пласта и потока жидкости
Изменение массы в выделенном элементарном объёме может происходить за счёт двух составляющих:
-
- перетоки жидкости через элементарную поверхность
:

-
- наличие источников и стоков в этом элементарном объёме:

Тогда можно записать:

Подставляя выражения для
, получим:



где m - пористость; - плотность.
Пусть отсутствуют источники и стоки, тогда: 
В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса можно перейти от поверхностного интеграла к объёмному:

(Примечание
Тогда, подставляя полученное в (1) под знак интеграла, получим:

Для любого «физического» объёма следует, что данное равенство выполняется тогда, когда подынтегральное выражение равно нулю:
(2)
Это уравнение задаёт закон сохранения массы в пористой среде в дифференциальной форме или уравнение неразрывности. Для одномерного случая уравнение запишется так:
(3)
Пусть в пласте движется двухфазный поток. Обозначим насыщенность пористой среды /-ой фазой как
, причём условимся, что для нефти насыщенность
, а для воды
, тогда:

Допустим, что справедлив обобщенный закон Дарси:

где
и
- проницаемости - абсолютная и относительная (фазовая) по нефти и воде соответственно;
- коэффициенты динамической вязкости нефти и воды;
- коэффициенты плотности нефти и воды;
- угол наклона пласта к горизонтали (угол падения пласта).
Для определения фазовых проницаемостей чаще всего применяют метод вытеснения нефти водой из модели пласта с предварительным созданием связанной водонасыщенности или метод капилляриметрии с использованием центрифугирования. Во втором случае образцы насыщенного керна располагают в центрифуге и, создавая скоростью вращения, различные перепады давления водой определяют фазовые проницаемости при различных насыщенностях. Результаты таких исследований отображают в виде зависимостей фазовых прони- цаемостей от насыщенности образца керна (рис. 3).
Характерные особенности многофазной фильтрации связаны с тем, что на процесс вытеснения в той или иной степени влияют поверхностные эффекты на границе раздела фаз.
Дополним систему уравнений функцией, описывающей разность давлений в фазах (капиллярное давление):
(4)
где
- капиллярное давление;
- безразмерная функция Леверетта, определяемая экспериментально;
- коэффициент межфазного натяжения на границе нефть - вода;
- угол смачивания вытесняющей фазой поверхности породы (угол, образуемый касательной к поверхности воды в точке касания ее с породой и поверхностью породы).

Рис. 3 Результаты исследований процесса вытеснения фаз при капилляриметрии и
совместной фильтрации нефти и воды.
Будем считать, что жидкости и пористая среда несжимаемы (
= const, m = const). Тогда, проведя ряд математических преобразований, получим уравнение неразрывности для водной фазы, известное также как уравнение Раппопорта- Лиса:
(5)
где, 
(6)
Физический смысл функции Бакли-Леверетта - это доля воды в двухфазном потоке жидкости в пористой среде. На этой основе далее в курсе будет рассмотрено моделирование процесса вытеснения нефти водой, так называемая «модель двухфазной фильтрации Бакли-Леверетта».
Это уравнение представляет собой нелинейное уравнение параболического типа второго порядка. Точные решения этих уравнений получены лишь для некоторых сравнительно простых случаев. Это уравнение в трехмерном случае является основой гидродинамического моделирования с применением численных методов решения и используется всеми основными пакетами программ для построения геолого-технологических моделей пласта.
Оценим теперь необходимость учёта капиллярных сил.
Перепишем полученное уравнение, используя следующие безразмерные параметры:

где
- характеристический размер пористой среды (пласт, межскважин- ное пространство, керн).
(7)


Теперь оценим величины
и
при типичных значениях геолого- физических свойств. Пусть
- расстояние между скважинами и


Тогда получим, что
а
т.е. правая часть уравнения (7) при данных геолого-физических условиях близка к 0.
Таким образом, можно заключить, что для нашего примера в масштабе расстояния между скважинами, капиллярными силами можно пренебречь. Гравитационными же силами можно пренебречь при небольшом угле падения пласта и невысокой плотности нефти.

В случае, когда моделируется вытеснение нефти из керна (линейная величина L - существенно мала), учёт капиллярных сил необходим.